第11讲:《全微分及其应用》内容小结、课件与典型例题与练习
1、全增量与全微分的基本概念
设函数 在点 的某邻域内有定义, 为该邻域内的任意一点,记 , ,则自变量 变化到 时函数 的全增量为
如果函数 在点 可微,则函数的全增量可以表示为
其中 是与自变量的增量 无关的量,并且把去掉无穷小量的部分称为函数的全微分,并记作 ,即
2、函数可微的必要条件与充分条件
必要条件:函数可微,在函数偏导数存在,并且
但函数在某点处偏导数存在,函数不一定可微.
【注】 全微分为切平面函数(线性化函数)的函数值的增量.
充分条件:函数在某点处两个偏导数连续,则函数在该点可微. 但函数在某点处可微,偏导数在该点不一定连续.
3、偏增量与偏微分
4、二元函数可微性的判定方法与步骤
定义法
(1) 求全增量:
(2) 求 处的两个偏导数(如果有一个偏导数不存在,则函数不可微);
(3) 判定极限
是否等于0,如果等于0,则函数可微,否则不可微.
基于充分条件的方法
(1) 求偏导数函数,定义区域内用求导运算法则直接求导函数,分段点处用定义求;
(2) 判定偏导函数的连续性,连续则可微;不连续不一定可微,则需要使用定义法重新判定.
参考课件
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